如图，三角形abc中，∠c=90°，d是ac中点，求证ab²+3bc²=4bd²
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证明：因为角C=90度
所以三角形ABC和三角形BCD是直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=BC^2+AC^2
BD^2=BC^2+CD^2
所以4BD^2=4BC^2+4CD^2
因为D是AC的中点
所以CD=AD=1/2AC
所以AC^2=4CD^2
所以AB^2=BC^2+4CD^2
所以AB^2-4BD^2+3BC^2=0
所以AB^2+3BC^2=4BD^2
所以三角形ABC和三角形BCD是直角三角形
所以由勾股定理得：
AB^2=BC^2+AC^2
BD^2=BC^2+CD^2
所以4BD^2=4BC^2+4CD^2
因为D是AC的中点
所以CD=AD=1/2AC
所以AC^2=4CD^2
所以AB^2=BC^2+4CD^2
所以AB^2-4BD^2+3BC^2=0
所以AB^2+3BC^2=4BD^2
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