Question

高分！！急！！在线等！！下面这道题该怎样做啊？？谢谢了！！

设在区间[a,b]上，f(x)>0,f'(x)>0,f''(x)>0 令s1=∫f(x)dx，s2=f(a)(b-a）s3={[f(a)+f(b)](b-a)}/2 则s1 s2 s3 的大小关系为什么啊 ？？？积分区间为上限为b 下限为a

求详细解答过程

谢谢！！！！

Answer 1

f'(x)>0增函数

f''(x)>0为上凹函数

再根据f(x)>0画出大致图形了

s1=∫f(x)dx为其与x轴围的面积

s2=f(a)(b-a）为底长b-a高为f(a)的矩形

s3={[f(a)+f(b)](b-a)}/2 高为b-a上底为f(a)下底为f(b)的梯形

比较三者的面积

容易知道梯形s3>与x轴围的面积s1>矩形面积s2

等下我再附张图吧

Answer 2

因为 f'(x)>0, f(x) 是增函数。
所以 s1=∫f(x)dx > ∫f(a)dx= f(a)(b-a）= s2
因为 f''(x)>0, f(x) 是凸函数。所以 f(tb + (1-t)a) < tf(b)+(1-t)f(a）， 0<t<1.

所以 s1=∫f(x)dx=∫_t 从0到1_f(tb + (1-t)a)d(tb + (1-t)a)
= (b-a)∫_t 从0到1_f(tb + (1-t)a)dt
< (b-a)∫_t 从0到1_(tf(b)+(1-t)f(a）)dt
= {[f(a)+f(b)](b-a)}/2 = s3
所以 s2 < s1 < s3

Answer 3

如果只从做对这个题的角度：
更特殊的一个函数是y=x^2,区间选为[-2,-1].
楼主可以检验该函数满足所有要求。
S1=7/3. 计算下积分即可。
S2=f(-1)*1=1.
S3=[1+4]/2=5/2.
B S2<S1<S3.
如果严格验证：
因为f'(x)在此区间<0，故是减函数，f(b)<f(a).
更一般的，f(b)<f(x)<f(a) 任意x∈[a,b).