Question

概率论这种题应该怎么做？

6.17

Answer 1

对於n个相等参数exp(λ)，前k个坏掉的时间期望为 1/(n-k+1)λ

以下作一些举例证明
任意一个坏掉的时间分布为M
M~min(t1...tn)
P(M>m)=P(t1>m)P(t2>m)...P(tn>m)
每个ti>m都是 e^(-λm)，n个乘起来是e^(-nλm)
=e^(-nλm)
FM(m)=P(M<m)=1-e^(-nλm)
fM(m)=nλe^(-nλm)
E(M)=∫(nλm)e^(-nλm) dm=1/(nλ)

任意两个坏掉的时间分布为K

K~second min(第二最小)(t1,...tn)

P(K>k)=P(t1<k)P(t2>k)...P(tn>k)+P(t2<k)P(t1>k)P(t3>k)...P(tn>k)+...+P(tn<k)P(t1>k)...P(t6>k)
=Σ(i=1~7)P(ti<k){π(连乘,j=1~7,j不等於i)P(tj>k)}
这里等比重，所以每个P(ti>k)或P(tj>k)都是e^(-λk), 每个组选一个t小於k,有n选1个乘组
=(Cn 1)(1-e^(-λk))(e-(n-1)λk)
FK(k)=P(K<k)=1-(Cn 1)(1-e^(-λk))(e^-(n-1)λk)
fK(k)=-(Cn 1){e^(-(n-1)λk)' - e^(-nλk))'}
= -(Cn 1){nλe^(-nλk)-(n-1)λe^[(1-n)λk]}
E(K)=(Cn 1)∫k{-nλe^(-nλk)+(n-1)λe^[(1-n)λk]} dk
=(Cn 1)(1/[λ(n-1)]-1/λn)
=n(1/[(n-1)n])/λ
=1/[(n-1)λ]

设任意三个坏掉的情况分布为P
P~3rd min(t1....tn)
Fp(p)=1-(Cn 2)(1-e^(-λp))^2{e^(-λp)}^(n-2)
=1-(Cn 2){1-2e^(-λp)+e^(-2λp)}(e^((2-n)λp)

fp(p) =-(Cn 2)({-(n-2)λe^(2-n)λ+2(n-1)λe^(1-n)λ-(n)λe^(-nλ)}
fp(p)= (Cn 2)E{ f{exp(n-2)λ}-2f{exp(n-1)λ}+f{exp(n)λ} }
E(P)=(Cn 2)(1/(n-2)-2/(n-1)+1/n)/λ
={(n)(n-1)/2}{2/(n)(n-1)(n-2)}/λ
=1/(n-2)λ

任意四个坏掉的分布为T,根据规律
E(T)=(Cn 3)(1/(n-3)-3/(n-2)+3/(n-1)-1/n)/λ
= {n(n-1)(n-2)/3!}{3!/(n-3)(n-2)(n-1)(n)}/λ
=1/(n-3)λ

6.17题求的是前三个坏掉的时间期望（第二个坏掉时还能用，第三个一坏就结束了）
=1/(7-2)λ
=1/(5λ)

6.16题，一个是T1~ min(t集合)，一个是T2~max(t集合), t集合是n个exp(b)的集合
分布函数分别为
1-(1-F(b))^n=1-e^(-nbt1)
F(b)^n=(1-e^(-bt2))^n
密度函数分别是
ft1(t1)=nbe^(-nbt1)
(题外话你bt我更nb呵呵)
ft2(t2)=nb(t2)e^(-bt2)(1-e^(-bt2))^(n-1)

期望时间分别为
1/(nb)
和
1/(n-n+1)b=1/b