Question

在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交与O,EC⊥底面ABCD,F为BE的中点

（Ⅰ）求证平面BDE垂直平面ACE（Ⅱ）求证若 在线段 上是否存在点 ，使 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）
作GB垂直于平面ABCD且满足BG=CE，因为CE也垂直于平面ABCD，所以CE平行于BG
且角ECB=90°，所以BGEC是矩形，故EG∥BC∥AD，且EG=BC=AD
由于EG和AD平行且相等，所以DEGA是平行四边形，所以DE∥AG，
由于F是BE中点，而BGEC是矩形，连接CG，显然CG交BE 与点F，故G在线段CF延长线上
故CG和CF是同一条直线，也就是平面ACF和平面ACG是同一个平面
而DE∥AG，AG∈平面ACG=平面ACF，所以DE∥平面ACF，证毕。
（2）
连接CO，显然CO⊥BD（因为ABCD是正方形），
因为ABCD是正方形，所以CB=CD，显然有三角形CEB全等于三角形CED，故BE=DE
又因为O是BD中点，所以EO⊥BD，又CO⊥BD，所以平面COE⊥BD，
所以平面COE⊥平面BED，故在平面CEO上作CH⊥OE交OE（或者OE的延长线[因为还不确定
不是在线段OE上]）于点H，则显然CH⊥平面BDE，
又因为角ECO=90°，所以三角形CEO是锐角三角形，显然其高CH在三角形内部，即H在EO线
上。
因为角ECO和角CHE都是直角，∠ECH=∠COH=90°-∠HCO，所以sin ECH=cos HCO
又设AB长为a*根号2，则CE=a，BD=2a，CO=BO=DO=a
tan ECH=tan HOC=EC:CO=1，所以∠COE=45°，所以∠ECH=∠OCH=∠COE=∠OEC=45°
所以EH:HO=tan ECH：tan HCO=1，所以H是OE的中点，故EO：EH=2

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