Question

设f（x）在R上是奇函数，当x>0时，f（x）=x（1-x），那么当x<0时，f（x）的表达式是什

设f（x）在R上是奇函数，当x>0时，f（x）=x（1-x），那么当x<0时，f（x）的表达式是什么？ 需要过程 谢谢

Answer 1

当x<0时，-x>0
所以f(-x)=-x(1-(-x))=-x(1+x)=-f(x)
所以f(x)=x(1+x)

因为f(x)是R上的奇函数
所以f(0)=0

所以f(x)=x(1+x) (x<0)
=0 (x=0)
=x(1-x) (x>0)

如果不懂，请追问，祝学习愉快！

追问

为什么f（x）是R上的奇函数，f（0）=0不懂，还有题意x>0 又设的-x>0不矛盾吗，可以解释下吗？

追答

f（x）是R上的奇函数
那么f(-x)=-f(x)
故f(0)=-f(0)
所以f(0)=0

题目没说x>0,只是说当x>0时f(x)=x（1-x）
就是说告诉你x>0那一段的函数

要求x0
代入给出的表达式中求

追问

是不是f（x）是R上的奇函数都有f（0）=0

追答

对，除非定义域没有0

追问

再麻烦一下啊，要是偶函数呢

追答

偶函数的话，f(0)不一定等于0，要看题目情况
偶函数的话就用的f(-x)=f(x)

追问

明白了 谢谢

Answer 2

f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)
记t=-x，则当x>0时，t<0，此时f(t)=f(-x)=-f(x)=-[x(1-x)]=t(1+t)
所以当x<0时，f(x)=x(1+x)。

追问

x>0又x<0不矛盾吗？解释一下可以吗？

追答

x0都是函数f(x)的不同定义域，怎么有矛盾？知道了f(x),求f(-x)，这里的x可以是任何数（没加限制的话），那么-x就是关于原点对称的定义域上的点，一般可以分x>0或x0时（这就是定义域的限制），一定有-x<0

Answer 3

追答

之前少了点

追问

题意是x>0 又x<0 -x<0我感到都矛盾了，可以解释下不

追答

前面那个x<0x是负数，后面那个-x<0。其中x是正数

追问

哦，多谢