Question

（2014?海拉尔区模拟）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线

（2014?海拉尔区模拟）如图，已知直线y=kx-6与抛物线y=ax2+bx+c相交于A，B两点，且点A（1，-4）为抛物线的顶点，点B在x轴上．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的第二象限图象上是否存在一点P，使△POB与△POC全等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点Q是y轴上一点，且△ABQ为直角三角形，求点Q的坐标．

Answer 1

（1）把A（1，-4）代入y=kx-6，得k=2，
∴y=2x-6，
令y=0，解得：x=3，
∴B的坐标是（3，0）．
∵A为顶点，
∴设抛物线的解析为y=a（x-1）²-4，
把B（3，0）代入得：4a-4=0，
解得a=1，
∴y=（x-1）²-4=x²-2x-3．

（2）存在．∵OB=OC=3，OP=OP，∴当∠POB=∠POC时，△POB≌△POC，
此时PO平分第二象限，即PO的解析式为y=-x．
设P（m，-m），则-m=m²-2m-3，解得m=

1? 13

2

（m=

1+ 13

2

＞0，舍），
∴P（

1? 13

2

，

13 ?1

2

）．

（3）①如图，当∠Q₁AB=90°时，△DAQ₁∽△DOB，
∴

AD

OD

=

DQ1

DB

，即

5

6

=

DQ1

3 5

，∴DQ₁=

5

2

，
∴OQ₁=

7

2

，即Q₁（0，?

7

2

）；
②如图，当∠Q₂BA=90°时，△BOQ₂∽△DOB，
∴

OB

OD

=

OQ2

OB

，即

3

6

=

OQ2

3

，
∴OQ₂=

3

2

，即Q₂（0，

3

2

）；
③如图，当∠AQ₃B=90°时，作AE⊥y轴于E，
则△BOQ₃∽△Q₃EA，
∴

OB

Q3E

=

OQ3

AE

，即

3

4?OQ3

=

OQ3

1

，
∴OQ₃²-4OQ₃+3=0，∴OQ₃=1或3，
即Q₃（0，-1），Q₄（0，-3）．
综上，Q点坐标为（0，?

7

2

）或（0，

3

2

）或（0，-1）或（0，-3）．