Question

已知：函数f（x）=ax+ b x +c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 5 2 ，f

已知：函数f（x）=ax+ b x +c（a、b、c是常数）是奇函数，且满足f（1）= 5 2 ，f（2）= 17 4 ，（Ⅰ）求a、b、c的值；（Ⅱ）试判断函数f（x）在区间（0， 1 2 ）上的单调性并说明理由；（Ⅲ）试求函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，则f（-x）+f（x）=0 即-ax- b x +c+ax+ b x +c=0∴c=0 由f（1）= 5 2 ，f（2）= 17 4 ，得a+b= 5 2 ，2a+ b 2 = 17 4 解得a=2，b= 1 2 ∴a=2，b= 1 2 ，c=0 （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=2x+ 1 2x ，∴f′（x）=2- 1 2 x 2 当x∈（0， 1 2 ）时，0＜2x 2 ＜ 1 2 ， 1 2 x 2 ＞2 ∴f′（x）＜0，即函数f（x）在区间（0， 1 2 ）上为减函数． （Ⅲ）由f′（x）=2- 1 2 x 2 =0，x＞0得x= 1 2 ∵当x＞ 1 2 ， 1 2 x 2 ＜2， ∴f′（x）＞0， 即函数f（x）在区间（ 1 2 ，+∞）上为增函数．在（0， 1 2 ）上为减函数． 所以f（x）的最小值=f（ 1 2 ）=2．