Question

用单调性定义证明：函数f(x)＝2x?x在（0，+∞）上为减函数

用单调性定义证明：函数f(x)＝2x?x在（0，+∞）上为减函数．

Answer 1

设x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂
∵f(x1)＝

2

x1

?x1，f(x2)＝

2

x2

?x2…2分
∴f(x1)?f(x2)＝

2

x1

?

2

x2

+x2?x1=

2(x2?x1)

x1x2

+x2?x1=(x2?x1)(

2

x1x2

+1)…8分
又∵0＜x₁＜x₂，
∴x2?x1＞0，

2

x1x2

+1＞0∴(x2?x1)(

2

x1x2

+1)＞0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴f（x₁）＞f（x₂）
由减函数的定义知道，f(x)＝

2

x

?x在(0，+∞)上是减函数．…12分