Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且 A-C= π 2 ．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c．已知a=2c，且 A-C= π 2 ．（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）当b=1时，求△ABC的面积S的值．

Answer 1

（1）∵a=2c， 由正弦定理可得，sinA=2sinC ∵ A-C= π 2 则C为锐角，cosC＞0 ∴sinA=sin（C+ π 2 ）=cosC 联立可得，2sinC=cosC ∵sin 2 C+cos 2 C=1 ∴ sinC= 5 5 ，cosC= 2 5 5 （2）由A=C+ 1 2 π 可得B=π-（A+C）= 1 2 π-2C ∴sinB=cos2C=2cos 2 C-1= 3 5 由正弦定理可得， b sinB = c sinC 即 1 3 5 = c 5 5 ∴c= 5 3 由三角形的面积公式可得，S= 1 2 absinC = 1 2 × 2 5 3 ×1× 5 5 = 1 3