Question

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F．H是BC边

已知：如图，在△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD相交于点F．H是BC边的中点，连接DH与BE相交于点G．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）若过点G作GM∥BC，交DC于点M，其他条件不变，求证：DF=CM；（3）若把题目中“BE平分∠ABC”改为“BE平分线段DC”，其他条件不变，连接HF．求证：HF=AD．

Answer 1

（1）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE，
∵CD⊥AB，
∴∠ABE+∠A=90°，∠CBE+∠ACB=90°，
∴∠A=∠BCA，
∴AB=BC，
∴△ABC是等腰三角形；

（2）证明：如图，过点F作FN⊥BC于N，
∵BE平分∠ABC，
∴FD=FN，
∵∠ABE+∠3=90°，∠CBE+∠1=90°，∠1=∠2，
∴∠2=∠3，
∴DG=DF，
∴DF=DF=FN，
∵∠ABC=45°，CD⊥AB，
∴△BDC是等腰直角三角形，
∵DH⊥BC，
∴∠GDM=∠NFC=45°，
在△DGM和△FNC中，

∠GDM＝∠NFC DG＝FN ∠DGM＝∠FNC

，
∴△DGM≌△FNC（ASA），
∴DM=FC，
∴DM-FM=FC-FM，
即DF=CM；

（3）证明：如图，连接FH，∵DH⊥BC，BE平分线段CD，
∴HF=DF=

1

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CD，
∵△BCD是等腰直角三角形，
∴BD=CD，
∵BE⊥AC，
∴∠DBF+∠A=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠ACD+∠A=90°，
∴∠DBF=∠ACD，
在△ACD和△BFD中，

∠DBF＝∠ACD BD＝CD ∠BDF＝∠ADC＝90°

，
∴△ACD≌△BFD（ASA），
∴AD=DF，
∴HF=AD．