Question

已知数列{a n }的前n项和为s n ，满足S n =2a n -2n（n∈N + ），（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2

已知数列{a n }的前n项和为s n ，满足S n =2a n -2n（n∈N + ），（1）求数列{a n }的通项公式a n ；（2）若数列b n 满足b n =log 2 （a n +2），T n 为数列{ b n a n +2 }的前n项和，求T n （3）（只理科作）接（2）中的T n ，求证：T n ≥ 1 2 ．

Answer 1

（1）当n∈N + 时，S n =2a n -2n， 则当n≥2，n∈N + 时，S n-1 =2a n-1 -2（n-1）          ①-②，a n =2a n -2a n-1 -2，a n =2a n-1 +2 ∴a n +2=2（a n-1 +2）， ∴ a n +2 a n-1 +2 =2 ，n=1时   S 1 =2a 1 -2，∴a 1 =2 ∴{a n +2}是a 1 +2=4为首项2为公比的等比数列， ∴a n +2=4?2 n-1 =2 n+1 ， ∴a n =2 n+1 -2 （2）证明b n =log 2 （a n +2）=log 2 2 n+1 =n+1． ∴ b n a n +2 = n+ 2 n+1 ， 则 T n = 2 2 2 + 3 2 3  +…+ n+1 2 n+1 ， ∴ 1 2 T n = 2 2 3 + 3 2 4 +…+ n 2 n+1 + n+1 2 n+2 ④ ③-④， 1 2 T n = 2 2 2 + 1 2 3 + 1 2 4 …+ 1 2 n+1 - n+1 2 n+2 = 1 4 + 1 4 (1- 1 2 n ) 1- 1 2 -  n+1 2 n+1 = 1 4 + 1 2 - 1 2 n+1 -  n+1 2 n+2 = 3 4 - n+3 2 n+2 ∴ T n = 3 2 - n+3 2 n+1 ． （3）n≥2时 T n - T n-1 =- n+3 2 n+1 + n+2 2 n = n+1 2 n+1 ＞0 ， ∴{T n }为递增数列 ∴ T n 的最小值是 T 1 = 1 2 ∴ T n ≥ 1 2