已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b，g（x）=x3+72x2+1nx+b（a，b为常数）．（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y
已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b，g（x）=x3+72x2+1nx+b（a，b为常数）．（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx-5（k为常数），求b的值...
已知函数f（x）=x3+52x2+ax+b，g（x）=x3+72x2+1nx+b（a，b为常数）．（1）若g（x）在x=l处的切线方程为y=kx-5（k为常数），求b的值；（2）设函数f（x）的导函数为f′（x），若存在唯一的实数x0，使得f（x0）=x0与f′（x0）=0同时成立，求实数b的取值范围；（3）令F（x）=f（x）-g（x），若函数F（x）存在极值，且所有极值之和大于5+1n2，求a的取值范围．
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（1）∵g′(x)＝3x2+7x+
，g′(1)＝11
所以直线y=kx-5的k=11，
当x=1时，y=6，将（1，6）代入g(x)＝x3+
x2+lnx+b，得b＝
． …（4分）
（2）f′(x0)＝3x2+5x+a，
由题意知
消去a，
得2x03+
x02+x0?b＝0有唯一解．
令h(x)＝2x3+
x2+x，则h'（x）=6x2+5x+1=（2x+1）（3x+1），…（6分）
所以h（x）在区间(?∞，?
)，(?
，+∞)上是增函数，在(?
，?
)上是减函数，
又h(?
)＝?
，h(?
)＝?
，
故实数b的取值范围是(?∞，?
)∪(?
，+∞)． …（9分）
（3）∵F（x）=ax-x2-lnx，∴F′(x)＝?
| 1 |
| x |
所以直线y=kx-5的k=11，
当x=1时，y=6，将（1，6）代入g(x)＝x3+
| 7 |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
（2）f′(x0)＝3x2+5x+a，
由题意知
|
得2x03+
| 5 |
| 2 |
令h(x)＝2x3+
| 5 |
| 2 |
所以h（x）在区间(?∞，?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
又h(?
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 8 |
| 1 |
| 3 |
| 7 |
| 54 |
故实数b的取值范围是(?∞，?
| 7 |
| 54 |
| 1 |
| 8 |
（3）∵F（x）=ax-x2-lnx，∴F′(x)＝?
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