Question

设函数f（x）在R上是可导的偶函数，且满足f （x-1）=-f （x+1），则曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率

设函数f（x）在R上是可导的偶函数，且满足f （x-1）=-f （x+1），则曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为（　　） A．-1 B．0 C．1 D．2

Answer 1

由f （x-1）=-f （x+1）， 得f（x）=-f（x+2）， 所以f（x+4）=-f（x+2）=f（x）． 所以函数y=f（x）的周期为4． 因为周期为4的可导偶函数的导数是周期为4的奇函数， 所以曲线y=f （x）在点x=10处的切线的斜率为 f ′ （10）=f ′ （2）． 因为f（x）=-f（x+2）， 所以f ′ （x）=-2f ′ （x+2）， 所以 f ′ (2)=- 1 2 f ′ (0)=0 ． 故f ′ （10）=0． 故选B．