Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的离心率为12，以原点O为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+6=0相切．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线L：y=kx+m与椭圆C相交于A、B两点，且kOA?kOB=-b2a2，求证：△AOB的面积为定值．

Answer 1

（Ⅰ）解：由题意得

c a ＝ 1 2 c2＝a2?b2 b＝ |0?0+ 6 | 2

?a²=4，b²=3．
∴椭圆的方程为：

x2

4

+

y2

3

＝1；
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则A，B的坐标满足

x2 4 + y2 3 ＝1 y＝kx+m

，消去y化简得：（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
x1+x2＝?

8km

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