Question

设f（x）=sinx+sin（x+π6）-cos（x+4π3），x∈[0，2π]．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，

设f（x）=sinx+sin（x+π6）-cos（x+4π3），x∈[0，2π]．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调区间，（Ⅱ）若锐角△ABC中，f（A）=2，a=2，b=6，求角C及边c．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=sinx+sin（x+

π

6

）-cos（x+

4π

3

）
=sinx+

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

cosx-

3

2

sinx
=sinx+cosx
=

2

sin(x+

π

4

)
∴函数f（x）的最小正周期：2π；
∵x∈[0，2π]．∴x+

π

4

∈[

π

4

，

9π

4

]．
当x+

π

4

∈[

π

4

，

π

2

]，即x∈[0，

π

4

]时，函数f（x）为单调增函数；
当x+

π

4

∈[

π

2

，

3π

2

]，即x∈[

π

4

，

5π

4

]时函数是减函数；
当x+

π

4

∈[

3π

2

，

9π

4

]，即x∈[

5π

4

，2π]时，函数f（x）为单调增函数；
（Ⅱ）在锐角△ABC中，f（A）=

2

，∴

2

sin(A+

π

4

)＝

2

，
∴sin(A+

π

4

)＝1，∴A=

π

4

，
∵a=2，b=

6

，
由

a

sinA

＝

b

sinB

，∴sinB=

bsinA

a

=

3

2

，∴B=

π

3

，
∴C=π?

π

4

?

π

3

＝

5π

12

，
由余弦定理可知a²=c²+b²-2cbcosA，
可得c²-2

3

c+2=0，解得C=

3

?1或c＝

3

+1．
∵C-A=

5π

12

?

π

3

＝

π

12

＞0
∴c＞a，
故c＝

3

+1．