数列求和 1³+3³+5³+7³+...........(2n+1)³=?

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2010-11-10 · TA获得超过5.9万个赞
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本题需要用到这个公式1^3+2^3+...+n^3=[n(n+1)/2]^2
这个公式利用4次方公式:
(n+1)^4=n^4+4n^3+6n^2+4n+1即可证得。
1-(2n+2)所有数立方和1^3+2^3+……+(2n+2)^3=[(2n+2) (2n+3)/2]^2……①
1-(n+1)所有数立方和1^3+2^3+……+(n+1)^3=[(n+1)(n+2)/2]^2……②
②*8,得2^3+4^3+6^3+……+(2n+2)^3=2[(n+1)(n+2)]^2……③
①-③得:1³+3³+5³+7³+...........(2n+1)³=(n+1)²(2n+3) ²-2(n+1) ² (n+2) ².
即1³+3³+5³+7³+...........(2n+1)³=(n+1)²(2n²+4n+1).
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