高三数学问题
已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax.(a≤0).(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值(2)讨论f(x)的单调性要过程,或者告诉我这个题的出处,好像是高考题...
已知函数f(x)=ln(1+x^2)+ax.(a≤0).
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值
(2)讨论f(x)的单调性
要过程,或者告诉我这个题的出处,好像是高考题,还有第三问,只不过没打上 展开
(1)若f(x)在x=0处取得极值,求a的值
(2)讨论f(x)的单调性
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求导得:f'(x)=2x/(1+x^2)+a。
(1)因为在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,有a=0。
(2)f'(x)=(ax^2+2x+a)/(1+x^2)。
若a<0,上式分子为开口向下的抛物线,有Δ=4-4a^2。
i)当Δ≤0,即a≤-1时,f'(x)恒不大于0,f(x)单调递减;
ii)当Δ>0,即-1<a<0时,ax^2+2x+a=0求解有x=-1/a±√(1/a^2-1)。故,当x≤-1/a-√(1/a^2-1)或者x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减;当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
若a=0,f'(x)=2x/(1+x^2)。当x≤0时,f(x)单调递减;当x≥0时,f(x)单调递增。
综合上述:
当a≤-1时,f(x)单调递减。
当-1<a<0时,x≤-1/a-√(1/a^2-1)或x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减;当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
当a=0时,当x≤0时,f(x)单调递减;当x≥0时,f(x)单调递增。
(1)因为在x=0处取得极值,所以f'(0)=0,有a=0。
(2)f'(x)=(ax^2+2x+a)/(1+x^2)。
若a<0,上式分子为开口向下的抛物线,有Δ=4-4a^2。
i)当Δ≤0,即a≤-1时,f'(x)恒不大于0,f(x)单调递减;
ii)当Δ>0,即-1<a<0时,ax^2+2x+a=0求解有x=-1/a±√(1/a^2-1)。故,当x≤-1/a-√(1/a^2-1)或者x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减;当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
若a=0,f'(x)=2x/(1+x^2)。当x≤0时,f(x)单调递减;当x≥0时,f(x)单调递增。
综合上述:
当a≤-1时,f(x)单调递减。
当-1<a<0时,x≤-1/a-√(1/a^2-1)或x≥-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递减;当-1/a-√(1/a^2-1)≤x≤-1/a+√(1/a^2-1)时f(x)单调递增。
当a=0时,当x≤0时,f(x)单调递减;当x≥0时,f(x)单调递增。
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