Question

三角形ABC是等腰直角三角形,角A=90度,点P、Q分别是AB、AC上的一点,且满足BP=AQ，D是BC的中点

求证：三角形PDQ是等角三角形
三角形PDQ是等腰直角三角形
P运动到什么位置时，APDQ是正方形

Answer 1

1)证明：连接AD ，因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=45°，点D是斜边BC的中点(角平分线)，所以∠DAC=1/2*90°=45°，所以∠B=∠DAC=∠C=45°，AD=1/2*BC=BD,AD垂直DC,又因为BP=AQ，所以△DBP全等于△DAQ(角相等并且这个角的两边相等),所以DP=DQ,∠BDP=∠ADQ(全等三角形的性质)，∠ADC是直角,所以∠BDP+∠PDA=∠ADP+∠PDA=90°所以三角形PDQ是等腰三角形！
2)要满足APDQ是正方形,则DP=PA=AQ=DQ,已知BP=AQ,所以BP=PA即P运动到BA中点的时候,APDQ是正方形,此时四边相等,四脚都是90°

Answer 2

证明：连接AD ，因为三角形ABC是等腰直角三角形，所以∠B=∠C=45°，点D是斜边BC的中点，所以∠DAC=1/2*90°=45°，所以∠B=∠DAC，AD=1/2*BC=BD,又因为BP=AQ，所以△DBP全等于△DAQ,所以DP=DQ，所以三角形PDQ是等腰三角形！

Answer 3

1、证明：
连结A、D，则：
AD=BD=BC，∠DAC=45º, ∠PDB+∠ADP=90º
∵AD=BD, ∠DAQ=∠DBP, AQ=BP
∴△DAQ∽△DBP
∴DQ=DP, ∠QDA=∠PDB
∴∠QDP=∠QDA+∠ADP=∠PDB+∠ADP=90º
∴△PDQ是等腰直角三角形
2、点P是AB的中点。因为：
四边形APDQ=△PDQ+△QAP
而△PDQ是等腰直角三角形
要使得四边形为正方形则△QAP为等腰直角三角形
则AQ=PA=PB
所以P为AB中点

或
2、点P是AB的中点。证明如下：
假设四边形APDQ是正方形，则 PA=AQ=QD=DP,，∠A=90º
∵BP=AQ
∴BP=PA
即点P是AB的中点

Answer 4

1、证明：
连结A、D，则：
AD=BD=BC，∠DAC=45º, ∠PDB+∠ADP=90º
∵AD=BD, ∠DAQ=∠DBP, AQ=BP
∴△DAQ∽△DBP
∴DQ=DP, ∠QDA=∠PDB
∴∠QDP=∠QDA+∠ADP=∠PDB+∠ADP=90º
∴△PDQ是等腰直角三角形
2、点P是AB的中点。因为：
四边形APDQ=△PDQ+△QAP
而△PDQ是等腰直角三角形
要使得四边形为正方形则△QAP为等腰直角三角形
则AQ=PA=PB
所以P为AB中点

或
2、点P是AB的中点。证明如下：
假设四边形APDQ是正方形，则 PA=AQ=QD=DP,，∠A=90º
∵BP=AQ
∴BP=PA
即点P是AB的中点