Question

高一数学 已知2次函数f(x)=ax²+4x+b(a<0),舍关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α，β

已知2次函数f(x)=ax²+4x+b(a<0),舍关于x的方程f(x)=0的两根为x1,x2,f(x)=x的两实根为α（阿尔法），β（贝塔）。
（1）若│α-β│=1，求a，b的关系
（2）若a，b均为负整数，且│α-β│=1，求f（x）的解析式
（3）若α＜1＜β＜2，证明：（x1+1）×（x2+1）＜7

求解

Answer 1

解：已知函数f(x)=ax²+4x+b (a<0),
f(x)=0存在两实根为x1,x2 所以4²－4ab≥0 ==> ab≤4
f(x)=x存在两实根为α,β. 所以3^2－4ab≥0 ==> ab≤2.25
若仅a为负整数,且f(1)=0 有a+4+b=0 所以b=-4-a
由于 ab=-4a-a²=4-(a+2)²≤2.25
(a+2)²≥1.75
因a为负整数所以 a≤-4 （ a≤-4时 (a+2)²>=(-2)²=4>1.75
a=-3或－1时 (a+2)^2=1 a=-2时 (a+2)²=0 )
又有 x1＋x2=-4/a x1·x2=b/a
==> (x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1·x2
````````````=16/a²-4b/a=16/a²-4(-4-a)/a
````````````=16/a²+16/a+4
````````````=16[(1/a)+(1/2)]²
(x1-x2)²>=16[(1/-4)+(1/2)]²=1
(x1-x2)²<16[0+(1/2)]²=4
所以 1≤|x1-x2|<2.
(3)若α<1<β<2.证明x1x2<2.
f(x)-x=ax²+3x+b=a(x-α)(x-β)
注意到a<0 f(1)=a(1-α)(1-β)>0 f(2)=a(2-α)(2-β)<0
而f(1)=a+4+b>0 f(2)=4a+8+b<0
所以 -4-a<b<-8-4a ==> -4/a-1>b/a>-8/a-4
由-4/a-1>-8/a-4 得 -4/a<3
x1·x2=b/a<-4/a-1<3-1=2
解(1):b=2a
因为:|α-β|=1
所以:(|α-β|)方=(a-b)方=1
又: (α+β)方 - 4αβ = (a-b)方 = 1
由题: α+β= b/a : αβ = -3/a 代入上式
得：a方 ＋ 4ab = 9
因为：a方＞0：ab ＞0，且a;b为负整数
解得：a = -1 ; b = -2
解(2): f(x) = -x方 ＋ 4x - 2
因为：a + b + 4 = 0 ；a仅为负数：b就为正数
所以：a≤-4: b≥0
又因为：|x1-x2|方 ＝ (x1 + x2)方 - 4x1x2
又：x1 + x2 = 4 / a ; x1x2 = b / a
所以：|x1-x2|方 ＝ 4(a + 2)方 ／ a方
＝ 4〔(a + 2 )/a〕方
＝ 4〔1 + 2/a 〕方
又 :a≤-4 ；所以：（1／2）≤1＋ 2/a＜1
所以：4×（1／4）≤4〔1 + 2/a 〕方＜ 4
-1≤4/a＜0
所以： 1≤|x1-x2|<2
因为：αβ ＝ b/a 且：x1x2 ＝ b/a
又：α<1<β<2
所以：αβ < 2
（x1+1）×（x2+1）=x1x2+x1+x2+1=b/a+ 4/a+1< 2+ 0+1<3<7
(3)得证

Answer 2

（1） f(x)=x 得 ax²+3x+b=0的两根为α，β （α-β）²=（α+β)²-4αβ=(-3/a)²-4(b/a)²=(9-b²)/a² │α-β│=根号(9-b²)/a²=1 即根号(9-b²)=-a 即9-b²=a² a²+b²=9
（2） 因为a，b均为负整数，且│α-β│=1 即a²+b²=9 所以a=-2 b=-2 f(x)=-2x²+4x-2