Question

设f(x)=㏒2X-2/㏒2X(0<X<1)，且数列{an}的通项an满足f(2^an)=2n(n∈N+). (!)求它的通项公式（2）判断单调

Answer 1

解：
2^an在定义域上，
0<2^an<1
an<0

f(2^an)=log2(2^an)-2/log2(2^an)=an-2/an=2n
an^2-2nan-2=0
an^2-2nan+n^2=n^2+2
(an-n)^2=n^2+2
an=n+√(n^2+2)(舍去）或an=n-√(n^2+2)

{an}的通项公式为an=n-√(n^2+2)

1/an=1/[n-√(n^2+2)]=-[n+√(n^2+2)]/2
n+√(n^2+2)随n增大单调递增，-[n+√(n^2+2)]/2单调递减
1/an单调递减，an单调递增。
函数单调递增。