Question

fx=x-x³/sinπx的可去间断点个数，答案是三个，求间断点的方法，和为什么是可去间断点，都需

fx=x-x³/sinπx的可去间断点个数，答案是三个，求间断点的方法，和为什么是可去间断点，都需要详解

Answer 1

x=0，-1，1

解：

f(x)=(x-x³)/sinπx

定义域：

{x|x≠k，k∈Z}

f(x)=x(1-x)(1+x)/sinπx

(1)

x→0时，

limf(x)

=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'

=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]

=1/π

(2)

x→1时，

limf(x)

=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'

=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]

=2/π

(3)

x→-1时，

limf(x)

=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'

=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]

=2/π

(4)

x=k(k≠0且k≠±1)时，

limf(x)=-∞或+∞

综上，f(x)=(x-x³)/sinπx有3个可去间断点，分别是x=0，x=-1，x=1

几种常见类型。 

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞。如函数y=tanx在点x=π/2处。

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。

Answer 2

x=0，-1，1
解：
f(x)=(x-x³)/sinπx
定义域：
{x|x≠k，k∈Z}
f(x)=x(1-x)(1+x)/sinπx
(1)
x→0时，
limf(x)
=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'
=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]
=1/π
(2)
x→1时，
limf(x)
=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'
=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]
=2/π
(3)
x→-1时，
limf(x)
=lim(x-x³)'/[sin(πx)]'
=lim(1-3x²)/[πcos(πx)]
=2/π
(4)
x=k(k≠0且k≠±1)时，
limf(x)=-∞或+∞
综上，
f(x)=(x-x³)/sinπx有3个可去间断点，分别是x=0，x=-1，x=1
PS：
(1)
附上f(x)=(x-x³)/sin(πx)(-4<x<4)的图像
(2)
数学软件在处理可去间断点是，会视之为“连续”

追答

Answer 3

简单分析一下，答案如图所示