Question

泰勒展开式 知道二阶导数就展开 3项 为什么不需要全展开

Answer 1

根据题目和做题要求展开，有时展开3项就能答题，有时候需要全部展开。泰勒公式，应用于数学、物理领域，是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。

如果函数足够平滑的话，在已知函数在某一点的各阶导数值的情况之下，泰勒公式可以用这些导数值做系数构建一个多项式来近似函数在这一点的邻域中的值。泰勒公式还给出了这个多项式和实际的函数值之间的偏差。

泰勒公式得名于英国数学家布鲁克·泰勒。他在1712年的一封信里首次叙述了这个公式，尽管1671年詹姆斯·格雷高里已经发现了它的特例。拉格朗日在1797年之前，最先提出了带有余项的现在形式的泰勒定理。

扩展资料：

泰勒公式是将一个在x=x0处具有n阶导数的函数f（x）利用关于（x-x0）的n次多项式来逼近函数的方法。

若函数f（x）在包含x0的某个闭区间[a,b]上具有n阶导数，且在开区间（a,b）上具有（n+1）阶导数，则对闭区间[a,b]上任意一点x，成立下式：

其中，表示f（x）的n阶导数，等号后的多项式称为函数f（x）在x0处的泰勒展开式，剩余的Rn（x）是泰勒公式的余项，是（x-x0）n的高阶无穷小。

Answer 2

这要看题目要求的是多少阶的导数了
不可能总把所有都展开出来吧
展开到二阶时，例如f(x) = f(0) + f'(0)x + (1/2)f''(0)

第二，要注意题目说明该多少存在多少阶导数，有些可能只有一阶，有些只有二阶，所以就不存在更高阶的导数了

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追问

好吧 昨天忘记回复了
比如说判断函数的正负
0阶和1阶都是0二阶为负就可以带入泰勒公式 结果是负的 那剩下的阶不需要求吗

书上没求

追答

你可以将后面的写成拉格朗日余项

由罗尔定理，对一个函数y=f(x),
在[x1,x2]上,有f(x1)=f(x2)=0
f(x)连续可导,而且导函数连续,则存在一点μ∈（x1,x2）,使得f'(μ）=0
（用连续函数的最大值最小值定理以及可导函数的求导的定义式可以证明）
则考虑连续可导函数y=g(x),在[a,b]上,
构造函数：
G(x)=g(x)-(g(a)-g(b))/(a-b)·x+(b·g(a)-a·g（b))/(a-b)
则G(a)=G(b)=0
G(x)在[a,b]上连续可导,而且导函数连续,由罗尔定理
存在一点μ∈（a,b）,G'(μ）=0
即：g'(μ）=(g(a)-g(b))/(a-b)
上式就是拉格朗日定理
由带佩亚诺余项的泰勒公式有：
对于n阶可导的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n-1)(x0)(x-x0)^(n-1)/(n-1)!+o[(x-x0)^(n-1)]
（o[(x-x0)^(n-1)]=f(n)(x0)(x-x0)^(n)/n!
对两边求n-1次导数有：f(n-1)(x)=f(n-1)(x0)+f(n)(x0)·(x-x0)
移项有：f(n)(x0)=[f(n-1)(x)-f(n-1)(x0)]/(x-x0)
由导数的定义式可得,（x-x0）→0时,两边相等,得证）
下证带有拉格朗日型余项的泰勒公式：
对于存在直到n+1阶连续导函数的函数f(x),
f(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)/1!+f''(x0)(x-x0)^2/2!+…
+f(n)(x0)(x-x0)^n/n!+f(n+1)(μ)(x-x0)^(n+1)/(n+1)!
μ∈（x0,x)
两边求n次导数
f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)
对比拉格朗日定理,由于存在n+1阶导数
f(n)(x)在[x0,x]上连续可导,而且导函数连续
由拉格朗日定理：
存在一点μ∈（x0,x）,f'(n)(μ）=(f(n)(x)-f(n)(x0))/(x-x0)
即得：f(n)(x)=f(n)(x0)+f(n+1)(μ）·(x-x0)

Answer 3

能说具体点吗?

追问

好吧 昨天忘记回复了
比如说判断函数的正负
0阶和1阶都是0二阶为负就可以带入泰勒公式 结果是负的 那剩下的阶不需要求吗

书上没求