Question

f(x)=sin|x-2|在x=2处为什么不可导

Answer 1

首先f（x）在x=2处连续。
可导的充要条件是，函数在该点的左右导数存在且相等，不能证明这点导数存在。只有左右导数存在且相等，并且在该点连续，才能证明该点可导。
可导的函数一定连续；连续的函数不一定可导，不连续的函数一定不可导。

lim(x→2+){[f(x-2)-f(2)]/x-2}=lim(x→2+)[sin（x-2）/（x-2）]=1

lim(x→2-){[f(x-2)-f(2)]/x-2}=lim(x→2-)[sin(-x+2)/x-2]=lim(x→2-)[-sin（x-2）/（x-2）]=-1

从而 根据导数定义,f'(2)不存在，所以不可导。

Answer 2

f(x)=(x2+x-2)·|x3-4x|·sin|x| =(x+2)(x-1)·|x|·|(x+2)(x-2)|·sin|x| =[(x+2)|x+2|]·[|x|·sin|x|]·|x-2|·(x-1) 函数定义域x∈R，无间断点。可能的不可导点x=±2，x=0,（由于取绝对值后，上下翻转后形成的尖角的顶点）令g(x)=(x+2)|x+2|=±(x+2)2,h(x)=|x|·sin|x|=x·sinx g'(x)=±2(x+2)→g'(-2)=0 h'(x)=sinx+xcosx→h'(0)=0 ∴x=-2,x=0不是f(x)的不可导点，f(x)的不可导点为x=2