Question

数学 一个函数在任一点的导数均为0，是否为常函数?若正确，试证明，错误，举出反例

Answer 1

正确，证明如下。
根据题意，该函数处处可导，不妨记为 f(x)
设f(x)的导数处处为0，
如果f(x)不是常函数，假定存在x1,x2 满足f(x1)≠f(x2)
根据拉格朗日中值定理，存在一点 x1≤ x ≤x2，满足
f'(x)=(f(x1)-f(x2))/(x1-x2)≠0
这与f(x)的导数处处为0相矛盾
所以f(x)是常函数。