Question

急,问道数学题

利用基本不等式证明不等式
1题:已知a>0,b>0且a+b=1,求证1/a+1/b>=4
2题：已知a,b,c属于（0，＋无穷）且a+b+c=1,求证（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)>=8
要详细过程和解释，谢谢了．

Answer 1

1，1=a+b≥2√（ab），所以ab最大值为1/4
1/a+1/b≥2√（1/ab）=4（大于它的最大值）

2，a+b+c=1,a,b,c,属于正实数，求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数，
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c

故(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b]*[2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8

∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8

Answer 2

1、a+b=1,a+b>=2根号ab
ab<=1/4,1/ab>=4
1/a+1/b=（a+b）/ab=1/ab>=4
2、（1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)=[（1-a）/a][（1-b）/b][（1-c）/c]
=（1-a）（1-b）（1-c）/abc
=(b+c)(a+c)(a+b)/abc
>=2√bc*2√ac*2√ab/abc
=8

Answer 3

1、a+b=1,a+b>=2倍的根号ab
ab<=1/4,1/ab>=4
1/a+1/b=（a+b）/ab=1/ab>=4，所以得证。
2、a+b+c=1,a,b,c,属于正实数，求证(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥8
证：已知a+b+c=1,a,b,c,属于正实数，
∵（1/a-1)
=(1-a)/a
=(a+b+c-a)/a
=(b+c)/a
又(√b-√c)^2≥0
b+c≥2√(bc)
∴（1/a-1)=(b+c)/a≥2√(bc)/a
同理
(1/b-1)≥2√(ac)/b
(1/c-1)≥2√(ab)/c

故(1/a-1)(1/b-1)(1/c-1)≥[2√(bc)/a]*[2√(ac)/b][2√(ab)/c]
=8 √[(a^2)*(b^2)8(c^2)]/(abc)
=8

∴(1/a-1)*(1/b-1)*(1/c-1)≥8

Answer 4

因为1=a+b 所以1/a+1/b=（a+b）/a+（a+b）/a=1+b/a+1+a/b=2+b/a+a/b
而b/a+a/b>=2*根号下b/a与a/b的积 所以得证！