Question

微分方程通解

Answer 1

解微分方程y'-3xy=2x
解：这是一个典型的一阶线性微分方程。其基本解法(程式化解法)如下：
先求一阶线性齐次方程y'-3xy=0的通解：
dy/dx=3xy；分离变量得dy/y=3xdx；积分之，得lny=(3/2)x²+lnc₁；即得y=c₁e^[(3/2)x²；
将c₁换成x的函数u，即y=ue^[(3/2)x²].............(1)
将(1)的两边对x取导数得：dy/dx=y'=(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]........(2)
将(1)和(2)代入原方程得：
(du/dx)e^[(3/2)x²]+3xue^[(3/2)x²]-3xue^[(3/2)x²]=2x
故得(du/dx)e^[(3/2)x²]=2x；分离变量得du=2xe^[-(3/2)x²]dx；
积分之得u=∫2xe^[-(3/2)x²]dx=(-2/3)∫de^[-(3/2)x²]=-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c
代入(1)式即得通解y={-(2/3)e^[-(3/2)x²]+c}e^[(3/2)x²]=-2/3+ce^[(3/2)x²]
【此解法谓之“参数变异法”或“常数变异法”】

Answer 2

求微分方程
xy'-lny=0的通解
解：分离变量得：dy/(lny)=dx/x；
积分之得：∫dy/(lny)=lnx+lnc=ln(cx)
故x=(1/c)e^∫dy/(lny);
其中积分∫dy/(lny)不能表为有限形式，也就是通常说的积不出来。

Answer 3