Question

在三角形ABC中，角BAC=90°，D为三角形内一点，且AB=AC=BD,角ABD=30°，求证AD=DC,请问怎么做？

Answer 1

证明：

过D向AB作垂线，垂足为E，过D向AC作垂线，垂足为F。

因为AB＝BD，所以三角形ABD为等腰三角形

因为角ABD＝30，所以ED＝1／2 BD＝1／2 AB＝1／2 AC

因为ED＝AF，所以AF＝1／2 AC，所以DF为AC的中垂线

由中垂线定理知，AD＝DC (中垂线定理：中垂线上的一点到两端点距离相等)

Answer 2

过D分别作DE垂直AB交AB于E点，DF垂直AC交AC于F点

在直角三角形BED中，因为角ABD=30°，得DE＝BD/2＝AB/2＝AC/2

所以AF＝DE＝AC/2，即F点为AC的中点

所以DF为AC的垂直平分线

所以AD=DC

Answer 3

证明：
以AC为边向△ABC外作等边三角形ACE，连接DE，交AC于F
因为AB＝BD，且∠ABD＝30°
所以∠BAD＝∠BDA＝75°
因为∠BAC＝90°
所以∠CAD＝15°
因为△ABC是等边三角形
所以∠CAE＝60°，AE＝AC＝AB
所以∠EAD＝∠BAD＝75°
又因为AD＝AD
所以△BAD≌△EAD（SAS）
所以∠AED＝∠ABD＝30°
所以∠AFE＝90°
根据“三线合一”性质得DE平分AC
所以DE垂直平分AC
所以AD＝DC

Answer 4

证明：AD=DC
因为，在三角形ABC中，角BAC=90°
所以，∠ABC=∠ACB=45°
又知，∠ABD=30° ,AB=BD
所以，∠BAD=60° ，∠ADB=60°
所以，∠ADC=120°,∠CAD=30°
所以，∠ACD=30°
又因为，∠ACD=30°,∠CAD=30°
所以，AD=DC