Question

正交矩阵的特征值为什么是1或负1？

Answer 1

原因如下：

设λ是正交矩阵A的特征值，x是A的属于特征值λ的特征向量。

即有Ax=λx，且x≠0。

两边取转置，得x^TA^T=λx^T。

所以x^TA^TAx=λ＾2x^Tx。

因为A是正交矩阵，所以A^TA=E。

所以x^Tx=λ＾2x^Tx。

由x≠0知x^Tx是一个非零的数。

故λ＾2=1。

所以λ＝1或－1。

正交矩阵的相关定理：

1、在矩阵论中，实数正交矩阵是方块矩阵Q，它的转置矩阵是它的逆矩阵，如果正交矩阵的行列式为＋1，则称之为特殊正交矩阵。

2、方阵A正交的充要条件是A的．行（列）向量组是单位正交向量组。

3、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基。

4、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量。

5、A的列向量组也是正交单位向量组。

6、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。