设a,b,c是实数,求证,a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>=abc(a+b+c)

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新科技17
2022-06-02 · TA获得超过5889个赞
知道小有建树答主
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∵a^2*b^2=2*(ab)^2/2
同理可推得b^2c^2=2*(bc)^2/2
c^2a^2=2*(ac)^2/2
由均值定理变形可得:
[(ab)^2+(bc)^2]/2>ab^2c (1)
[(ac)^2+(bc)^2]/2>abc^2 (2)
[(ab)^2+(ac)^2]/2>a^2 bc (3)
(1)+(2)+(3)得:
∵a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 > ab^2c+ abc^2+ a^2 bc= abc(a+b+c)
∴a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2>abc(a+b+c)
得证
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