高数题 求极值 f(x,y)=xy根号下(1-x^2-y^2) x^2+y^2
高数题 求极值 f(x,y)=xy根号下(1-x^2-y^2) x^2+y^2<=1 附图
二元函式求极值 f'x=2x+y+1 f'y=x+2y-1 令2者为0解得驻点为(-1,1) f'xx=A=2,f'xy=B=1,f'yy=C=2 AC-B^2=4-1=3>0 A>0所以有极小值 fmin=0
x^2+y^2<=1,求根号（x^2+y^2)dxdy的重积分 x^2+y^2<=1，求根号（1-x^2-y^2)dxdy的重积分
解：∫∫√(x²+y²)dxdy=∫<0,2π>dθ∫<0,1>r*rdr (做极座标变换)
=(2π)(1/3)
=2π/3；
∫∫√(1-x²-y²)dxdy=∫<0,2π>dθ∫<0,1>√(1-r²)rdr (做极座标变换)
=π∫<0,1>√(1-r²)d(r²)
=π(-2/3)(1-r²)^(3/2)│<0,1>
=(-2π/3)(0-1)
=2π/3。
高数求函式f(x,y)=xy(x^2+y^2-1)的极值
解：
设f(x,y)=z=x²＋y²－1
则有:
∂z/∂x=2x=0，x=0，
∂z/∂y=2y=0，y=0，
解得一个驻点：（0，0）令：
A=∂²z/∂x²=2
B=∂²z/∂x∂y=0
C=∂²z/∂y²=2
当AC-B²<0时不是极值点，AC-B²>0，A<0，是极大值；当AC-B²>0，A>0，极小值。
则有：
(0，0)，AC-B²>0，A>0，极小值
以上！
希望对你有所帮助！
D为x^2+y^2<=1,则∫∫√1-x^2-y^2 dxdy=
引入极座标，x=r cos θ , y=r sin θ . ==> x²+y²=r², dxdy = rdrdθ
则 D 为 0≤r≤1, 0≤θ≤2π
积分公式：√(ax+b)dx=(2/3a)√(ax+b)³
∫∫√(1-x²-y²)dxdy = ∫∫√(1-r²)rdrdθ =(2π)∫√(1-r²)rdr=π∫√(1-z) dz
=(2/3)π (其中曾用到：z=r²)
x,y属于R,x^2+y^2<=1,求证：（x^2+2xy-y^2）<=根号2
【证明】换元法。∵0≤x²+y²≤1.∴可设x=rcost,y=rsint.(0≤r≤1,t∈R).∴x²+2xy-y²=r²cos²t+2r²sintcost-r²cos²t=r²[cos²t-sin²t+sin(2t)]=r²[cos(2t)+sin(2t)]=(r²√2)sin[2t+(π/4)]≤r²√2≤√2.
∫D∫根号下1-x^2-y^2dxdy,D=x^2+y^2≤1
用极座标来解，
令x=r*cosθ，y=r*sinθ
D=x²+y²=r²≤1，即r的范围是0到1
而θ则是0到2π
那么原积分=∫(0到2π)dθ *∫(0到1)r *√(1-r²)dr
显然∫(0到2π)dθ=2π
而
∫(0到1)r *√(1-r²)dr
= -1/3 *(1-r²)^(3/2) 代入上下限1和0
=1/3
所以
原积分
=∫(0到2π)dθ *∫(0到1)r *√(1-r²)dr
=2π/3
已知：x根号下(1-y^2)+y根号下（1-x^2）=1,求证x^2+y^2=1
证明：
令x=sinA,y=sinB,其中A,B属于[0,π/2]
则有:根号(1-x²)=cosA,根号(1-y²)=cosB
则原来的等式变为
sinAcosB+sinBcosA=1
sin(A+B)=1
所以A+B=π/2,A=π/2-B
sinA=sin(π/2-B)=cosB
x²+y²=sin²A+sin²B=sin²(π/2-B)+sin²B=cos²B+sin²B=1,证毕～
已知x^2+y^2<=1,求证：x^2+2xy-y^2的绝对值<=根号2
已知x^2+y^2<=1
令x=rsint,y=rcost,其中r属于【0，1】
x^2+2xy-y^2=(r^2)[(sint)^2-(cost)^2+2sintcost]
=(r^2)(sin2t-cos2t)
<=（根号2）*(r^2)<=(根号2)*1=根号2
所以这个式子的绝对值的最大值是根号2
这样就得证了。
求z=x^2+y^2+1在y=1-x下的极值
z=x^2+y^2+1
=x^2+(1-x)^2+1
=2x^2-2x+2
=2(x^2+x+1)
=2[x^2+2*1/2*x+(1/2)^2-(1/2)^2+1]
=2[(x+1/2)^2+3/4]
=2(x+1/2)^2+3/2
当=-1/2时，z最小为3/2
已知x,y属于R,x^2+y^2<=1,求证：x^2+2xy-y^2的绝对值<=根号2
设x=tcosa,y=tsina,其中0《t《1
（这种设源经常会用到的，你可以多多留意）
x^2+2xy-y^2
=t^2*[(cosa)^2-(sina)^2+2cosa*sina)]
=t^2*[cos2a+sin2a]
=t^2*根号2*sin(2a+45)《根号2
因为0《t《1，sin(2a+45)《1
