Question

设f(u,v)是可微函数,令y=f[f(sinx,cosx),cosx],若f(1,0)=1，af/au（1，0）=2，af/av（1，0）=3，则dy/dx（x=pai/2）=

Answer 1

问：设f(u,v)是可微函数,令y=f[f(sinx,cosx),cosx],若f(1,0)=1，af/au（1，0）=2，af/av（1，0）=3，则dy/dx（x=pai/2）=

答：您好，亲，以下是根据您的提问，设f(u,v)是可微函数,令y=f[f(sinx,cosx),cosx],若f(1,0)=1，af/au（1，0）=2，af/av（1，0）=3，则dy/dx（x=pai/2）=，整理出来的答案：

答：首先，我们可以使用链式法则来计算 dy/dx： dy/dx = ("y/"u) * (du/dx) + ("y/"v) * (dv/dx) 其中，u = f(sinx, cosx)，v = cosx， 而我们需要计算在 x = π/2 时的导数，因此 u = f(1, 0)，v = 0。 根据题目所给条件，我们知道： f(1, 0) = 1，af/au(1，0) = 2，af/av(1，0) = 3 因此，我们可以使用线性近似来估计 f(sinx, cosx) 和 f(cosx, sinx) 在 x = π/2 时的值： f(sinx, cosx) ≈ f(1, 0) + af/du(1, 0) * (sinx - 0) + af/dv(1, 0) * (cosx - 1) = 1 + 2sinx - 3cosx f(cosx, sinx) ≈ f(1, 0) + af/dv(1, 0) * (sinx - 0) + af/du(1, 0) * (cosx - 1) = 1 + 3sinx + 2cosx

答：现在，我们可以使用这些值来计算y在x = π/2时的导数： y = f(f(sinx, cosx), cosx) ≈ f(1 + 2sinx - 3cosx, 0) 因此，我们需要计算af/du(1 + 2sinx - 3cosx, 0) 和 af/dv(1 + 2sinx - 3cosx, 0) 在点(1, 0)处的值。 通过求偏导数，我们得到： af/du = af/du(sin(x), cos(x)) = af/dx(sin(x)) * af/du(f) + af/dy(cos(x)) * af/du(f) = cos(x) * af/du(f) af/dv = af/dv(sin(x), cos(x)) = af/dx(cos(x)) * af/dv(f) + af/dy(-sin(x)) * af/dv(f) = -sin(x) * af/dv(f) 因此，我们有： af/du(1, 0) = cos(0) * af/du(1, 0) = 2 af/dv(1, 0) = -sin(0) * af/dv(1, 0) = 0 现在，我们可以计算： dy/dx = (∂y/∂u) *

答：现在，我们可以计算： dy/dx = ("y/"u) * (du/dx) + ("y/"v) * (dv/dx) ≈ af/du(1, 0) * (du/dx)(π/2) + af/dv(1, 0) * (dv/dx)(π/2) ≈ 2 * cos(π/2) + 0 * (-sin(π/2)) ≈ 0 因此，dy/dx在x = π/2处的值为0。