Question

求曲线方程

已知曲线过点(0,1)，且过曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2.求此曲线方程

Answer 1

某一点切线斜率就是该点的导数y'，由题意，y'=3y+2，y'-3y=2，这是一个一阶线性微分方程，利用公式求出y

y=Ce^（-∫-3dx）+e^（-∫-3dx）∫2e^（∫-3dx）dx=Ce^（3x）+e^（3x）(-2/3)e^（-3x）=Ce^（3x）-2/3，C为任意常数

因为y过（0,1），代入得C=5/3，所以曲线方程为y=5/3*e^（3x）-2/3

此题P(x)=-3，Q(x)=2

Answer 2

设曲线方程为 y=f(x)，则曲线在点(x,y)处的切线斜率为 f'(x)=3y+2。
根据已知条件，点(0,1)在曲线上，即 f(0)=1，因此可以对曲线方程进行定积分得到：
f(x) = f(0) + ∫[0,x] f'(t) dt
其中 ∫[0,x] 表示从0到x的定积分。将 f'(x)=3y+2 代入上式，得到：
f(x) = 1 + ∫[0,x] (3f(t)+2) dt
对上式右侧求解其积分，得到：
f(x) = 1 + 3∫[0,x] f(t) dt + 2x
这是一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。假设其通解为 f(x)=A*e^(3x) - 2/3，其中 A 为待定常数。将其代入 f(x) 的表达式，得到：
A*e^(3x) - 2/3 = 1 + 3∫[0,x] (A*e^(3t) - 2/3) dt + 2x
对上式整理可得：
A*e^(3x) = 3∫[0,x] A*e^(3t) dt + 2x + 5/3
对上式两侧同时取定积分可得：
A*e^(3x) = A*e^(3x) - A + 2x + 5/3
移项得到：
A = 5/9
因此，f(x)=5/9*e^(3x)-2/3

追答

设曲线方程为 y=f(x)，则曲线在点(x,y)处的切线斜率为 f'(x)=3y+2。
根据已知条件，点(0,1)在曲线上，即 f(0)=1，因此可以对曲线方程进行定积分得到：
f(x) = f(0) + ∫[0,x] f'(t) dt
其中 ∫[0,x] 表示从0到x的定积分。将 f'(x)=3y+2 代入上式，得到：
f(x) = 1 + ∫[0,x] (3f(t)+2) dt
对上式右侧求解其积分，得到：
f(x) = 1 + 3∫[0,x] f(t) dt + 2x
这是一阶线性常微分方程，可以使用常数变易法来求解。假设其通解为 f(x)=A*e^(3x) - 2/3，其中 A 为待定常数。将其代入 f(x) 的表达式，得到：
A*e^(3x) - 2/3 = 1 + 3∫[0,x] (A*e^(3t) - 2/3) dt + 2x
对上式整理可得：
A*e^(3x) = 3∫[0,x] A*e^(3t) dt + 2x + 5/3
对上式两侧同时取定积分可得：
A*e^(3x) = A*e^(3x) - A + 2x + 5/3
移项得到：
A = 5/9
因此，f(x)=5/9*e^(3x)-2/3

Answer 3

过曲线上任意一点（x,y）处的切线斜率等于该点纵坐标的3倍加2，
所以y'=3y+2,
分离变量得dy/(3y+2)=dx,
积分得ln|3y+2|=3x+c,
曲线过点(0,1),
所以c=ln5,
所以|3y+2|=5e^(3x).