Question

已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点，且满足

已知椭圆E中心在原点O,焦点在X轴上,其离心率e=根号（2/3）,过C(-1,0)的直线L与椭圆E相交于A,B两点，且满足向量AC=2向量CB。
1，用直线L的斜率K（k不等于0）表示三角形OAB的面积
2，当三角形OAB的面积最大时，求椭圆E的方程
速度速度速度速度........

Answer 1

解：（1）设椭圆E的方程为x²／a²+y²／b²=1(a＞b＞0),由e=c／a=√（2／3）得，a²=3b².

故椭圆方程为x²+3y²=3b².

设A（x1,y1）、B（x2、y2）.由于点C（-1，0）分向量AB的比为2，

∴x1+1=-2（x2+1）
y1=-2y2

由直线和双曲线联立得(3k²+1)x²+6k²x+3k²²-3b²=0.

由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1)、B(x2,y2)两点得：
△＞0，x1+x2=-6k²／（3k²+1），x1x2=（3k²-3b²）／（3k²+1）

而S△OAB=|y1-y2|=|-2y2-y2|=|y2|=|k(x2+1)|, ①

由（x1+2x1）／3=-1和x1+x2=-6k²／（3k²+1），把其代入①得：

S△OAB=3｜k｜／（3k²+1）(k≠0).

（2）因S△OAB=3｜k｜／（3k²+1）≤3／2√3,当且仅当k=±√3／3时，S△OAB取得最大值，此时x1+x2=-1.
又∵x1+1=-2（x2+1），∴x1=1，x2=-2
代入x1x2=（3k²-3b²）／（3k²+1） 得3b²=5.

∴椭圆方程为x²+3y²=5.