Question

高一数学：已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,f(x)≠0,有f(x+y)=f(x)f(y)

高一数学：已知定义在R上的函数y=f(x),对任意x,y∈R,f(x)≠0,有f(x+y)=f(x)f(y)
1.求证f(x)＞0
2.求证f(x-y)=f(x)/f(y)
3.若f(x)为R上的严格单调函数，且f（1）=1/2，解函数4f(5x)=f(3x)
请教一下大家！！
过程最好能详细些~感谢！

Answer 1

1.由于f(x+y)=f(x)f(y)
所以f(x)=f(x/2+x/2)=f(x/2)f(x/2)=f(x/2)平方
所以f(x)≥0
又知道对任意x,y∈R,f(x)≠0
所以f(x)＞0
2.由于f(x+y)=f(x)f(y)
所以f(2x)=f(x+x)=f(x)f(x)=f(x)平方
又f(2x)=f(x+y+x-y)=f(x+y)f(x-y)=f(x)f(y)f(x-y)
即f(x)f(y)f(x-y)=f(x)平方
且又知道对任意x,y∈R,f(x)≠0
所以f(x-y)=f(x)/f(y)
3.由于4f(5x)=4f(2x+3x)=4f(2x)f(3x)
所以4f(5x)=f(3x)可化为4f(2x)f(3x)=f(3x)
又对任意x,y∈R,f(x)≠0
所以上式变为4f(2x)=1
即f(2x)=1/4
根据上面知道f(2x)=f(x)平方
所以有f(x)平方=1/4
所以f(x)=正负1/2
根据题意f(x)＞0
所以f(x)=1/2
又f(1)=1/2
所以x=1

Answer 2

（1）f(x+y)=f(x)+f(y) f(2x)=F(x)f(x)=f(x)的平方恒大于或等于0又因为f(x)不等于0所以f(x)>0
（2）由（1）得f(0)=1令y=-x f(0)=f(x)f(-x)=1 f(-x)=f(x)的倒数
f(x-y)=f(x)f(-y)所以上式得证
（3）4f(5x)=f(3x) 4f(5)f(x)=f(3)f(x) f(5)=32分子1 f(3)=8分子1
f(x)=1 x=0

Answer 3

(3)由f(x+y)=f(x)f(y)得:
4f(5x)=4[f(x)]的5次方 f(3x)=f(x)的立方
得： f(x)的平方=1/4 又f（x）＞0 则 f(x)=1/2
由条件可知：x=1。

Answer 4

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