Question

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设函数f(x)=x^3+ax^2-9x-1(a<0)若曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行，求（1）a的值 (2)函数f(x)的单调区间

Answer 1

（1）曲线y=f(x)的斜率就是他的导数
y'=3x^2+2ax-9
最小的斜率为当x=-a/3时的斜率，即y'=-(a^2)/3-9
这条切线与直线12x+y=6平行
所以y'=-(a^2)/3-9=-12
所以a=-3（a<0）
（2）y'=3x^2-6x-9
当y'>0时，函数f(x)递增，当y'<0时，函数f(x)递减
所以当x<-1或者x>3时函数f(x)递增，当-1<x<3时函数f(x)递减
单调递减区间（-1,3），单调递增区间（-∞，-1）∪（3，+∞）

Answer 2

曲线y=f(x)的斜率最小的切线与直线12x+y=6平行
所以曲线斜率最小的切线的斜率是-12

f(x)=x^3+ax^2-9x-1(a＜0)
f'(x)=3x^2+2ax-9=3（x+a/3)^2-a^2/3-9
最小值为-a^2/3-9
所以-a^2/3 - 9=-12
解得：a=±3 （正的舍去）
所以a=-3