Question

已知f(x)是定义在（0，+无穷)上的增函数且满足f(xy)=f(x)+f(y)f(2)=1 求f(8)的值 解不等式f(x)-f(x-2)>3

Answer 1

1） f(xy)=f(x)+f(y),令x=y=2
则f(4)=f(2*2)=f(2)+f(2)=2
令x=2 y=4,
则f(8)=f(2*4)=f(2)+f(4)=3
2) f(x)-f(x-2)>3
因为f(8)=3
所以原不等式为:f(x)-f(x-2)>f(8) 即 f(x)>f(x-2)+f(8)
又因为f(xy)=f(x)+f(y)
所以原不等式等价为:f(x)>f(8x-16)
又因为f(x)是定义在（0，+无穷)上的增函数
所以原不等式等价于以下不等式组：
x>0 保证x在定义域内
8x-16>0 保证8x-16在定义域内
x>8x-16 根据函数单调性可得

解之得：2<x<16/7