Question

如图，在△ABC中，分别以AB,AC,BC为边在BC的同侧做等边三角形ABD,等边三角形ACE,等边三角形BCF

试说明四边形DAEF是平行四边形

Answer 1

因为三角形BCF和三角形ACE是等边三角形
所以角BCF=角ACE=60度
又因为角BCF=角BCA+角ACF，角ACE=角FCE+角ACF
所以角BCA=角ECF（1）
因为三角形BCF和三角形ACE是等边三角形
所以BC=FC，AC=EC
联系(1)
所以三角形BAC和三角形FCE全等（边角边）
因为全等
所以AB=FE
又因为三角形DBA是等边三角形
所以DA=BA=FE(2)
同理，证明三角形BFD和三角形BCA全等，推导出DF=AE
因为DF=AC，DA=EF
所以四边形DAEF是平行四边形（对边相等的四边形是平行四边形）

Answer 2

四边形DAEF是平行四边形。
∵△BCF,△ACE,,△ABD是等边三角形。
∴∠BCF＝∠ACE ,∠FBC＝∠DBA
∴∠BCF－∠ACF＝∠ACE－∠ACF
即∠ACB＝∠ECF
∠FBC－∠FBA＝∠DBA－∠FBA
即∠ABC＝∠DBF
在△ABC和△EFC中，
∵ BC＝CF,AC＝CE,∠ACB＝∠ECF
∴△ABC≌△EFC
∴EF＝AB
∴EF＝AD
在△ABC和△BDF
∵AB＝BD,BC＝BF,∠ABC＝∠DBF
∴△ABC≌△BDF
∴AC＝DF
∴AE＝DF
∴四边形DAEF是平行四边形.