Question

椭圆C:x^2/a^2+y^2/b^2=1右焦点F,过F直线l与椭圆相交于A、B两点,直线l倾斜角60°,AF=2FB (1)求椭圆离心率

(2)AB=15/4 求椭圆C方程
过右焦点

Answer 1

解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)

直线L的方程为y=√3(x-c),将直线方程代入椭圆中得到

（b^2+3a^2）x^2-6ca^2x+3(ac)^2-(ab)^2=0

∵√△=√（b^2-4ac）=√[(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)]=4ab^2

∴x1,x2=(3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).

∵AF=2FB

∴c-x1=2(x2-c) 即x1+2x2=3c

将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2  

 得e=2/3

(2)如图，BC=ABcos60°=0.5AB=15/8.   

BC=x1-x2=15/8

 由（1）知道了x1,x2.直接代入得到4ab^2/(b^2+3a^2)=15/8

化简得到32ab^2=15b^2+45a^2     

将b^2=a^2-c^2 得

32a(a^2-c^2)=15(a^2-c^2)+45a^2

由离心率e=c/a=2/3知 

c=2a/3.代入其中得到a=3

∴c=2,  b^2=5

∴椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1

Answer 2

1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=√3(x+c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2+6ca^2+3(ac)^2-(ab)^2=0
△=b^2-4ac=(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)=4ab^2
则根据公式可以表示出x1,x2=(-3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).

再由AF=2FB知A,B的横坐标满足x1-(-c)=2(-c-x2). 即x1+2x2=-3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2 得e=2/3

或：1.
l:y=(x-c)√3,①
其中c=√(a^2-b^2),
代入x^2/a^2+y^2/b^2=1,②
整理得（b^2+3a^2)x^2-6a^2*cx+a^2(3c^2-b^2)=0,
△=36a^4*c^2-4(b^2+3a^2)*a^2(3c^2-b^2)
=16a^2*b^4.
由向量AF=2FB得c-x1=2(x2-c),
∴x1+2x2=3c,4ab^2=6b^2*c,
∴c/a=2/3.

2.由弦长公式，|AB|=8ab^2/(b^2+3a^2)=15/4,
由1，b^2=5a^2/9,解得a=3,b^2=5,
∴所求椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1.

Answer 3

解：(1)设A(x1,y1),B(x2,y2)
直线L的方程为y=√3(x-c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2-6ca^2x+3(ac)^2-(ab)^2=0
∵√△=√（b^2-4ac）=√[(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)]=4ab^2
∴x1,x2=(3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).
∵AF=2FB
∴c-x1=2(x2-c) 即x1+2x2=3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2
得e=2/3
(2)如图，BC=ABcos60°=0.5AB=15/8.
BC=x1-x2=15/8
由（1）知道了x1,x2.直接代入得到4ab^2/(b^2+3a^2)=15/8
化简得到32ab^2=15b^2+45a^2
将b^2=a^2-c^2 得
32a(a^2-c^2)=15(a^2-c^2)+45a^2
由离心率e=c/a=2/3知
c=2a/3.代入其中得到a=3
∴c=2, b^2=5
∴椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1

回答者： 箭衡 - 十一级 2010-11-13 23:00

1.设A(x1,y1),B(x2,y2),直线L的方程为y=√3(x+c),将直线方程代入椭圆中得到
（b^2+3a^2）x^2+6ca^2+3(ac)^2-(ab)^2=0
△=b^2-4ac=(6ca^2)^2-4（b^2+3a^2）(3(ac)^2-(ab)^2)=4ab^2
则根据公式可以表示出x1,x2=(-3ca^2±2ab^2)/(b^2+3a^2).

再由AF=2FB知A,B的横坐标满足x1-(-c)=2(-c-x2). 即x1+2x2=-3c
将x1,x2代入上式中得3cb^2=2ab^2 得e=2/3

或：1.
l:y=(x-c)√3,①
其中c=√(a^2-b^2),
代入x^2/a^2+y^2/b^2=1,②
整理得（b^2+3a^2)x^2-6a^2*cx+a^2(3c^2-b^2)=0,
△=36a^4*c^2-4(b^2+3a^2)*a^2(3c^2-b^2)
=16a^2*b^4.
由向量AF=2FB得c-x1=2(x2-c),
∴x1+2x2=3c,4ab^2=6b^2*c,
∴c/a=2/3.

2.由弦长公式，|AB|=8ab^2/(b^2+3a^2)=15/4,
由1，b^2=5a^2/9,解得a=3,b^2=5,
∴所求椭圆方程为x^2/9+y^2/5=1.

回答者： 孙梅浩 - 十三级 2010-11-14 09:40

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