Question

如图,在梯形ABCD中,AD‖BC,BC=3AD,点E,F分别为对角线AC,BD的中点求证：四边形ADEF为平行四边形

Answer 1

取AB的中点H，连接EH，在三角形ABD中，因为F为BD的中点，H为AB的中点，所以FH平行AD；连接EH，在三角形ABC中，因为E是AC的中点，H为AB的中点，所以EH平行BC；又因为AD平行BC，所以EH平行FH，因为EH、FH这两条直线同过H点，所以E、F、H三点共线，EF平行AD。
因为EH平行BC，H为AB的中点，所以EH=BC/2=3*AD/2
因为FH平行AD，H为AB的中点，所以FH=AD/2
所以EF=EH-FH=3*AD/2-AD/2=AD
由上述可知，在四边形ADEF中，因为AD平行EF，且AD等于EF，所以四边形为平行四边形。

Answer 2

做DG平行AC交BC延长线于G；
则ACGD是平行四边形；BG=BC+AD；
延长FE交DG于H，则FH是三角形BDG中BG的中位线，即FH=BG/2=2AD；
因EH=AD，则AD=EF；
AD和EF平行且相等，则ADEF为平行四边形

Answer 3

证明：延长EF交AB于点G，则G为AB中点
∴EG‖BC，2EG=BC
又∵AD‖BC，BC=3AD
∴EG‖AD，EG=FG＋EF=1.5AD
又∵FG‖AD，FG=0.5AD
∴EF=1.5AD－FG=1.5AD－0.5AD=AD
∴EF‖AD且EF=AD
∴四边形ADEF为平行四边形