Question

已知数列{an}的前n项和为Sn且满足an+2SnXSn-1=0(n≥2）a1=1/2

1求证{1/Sn}是等差数列
2求an的表达式

Answer 1

an+2SnS(n-1)=0(n≥2）
∵an=Sn-S(n-1)，
∴Sn-S(n-1) +2SnS(n-1)=0，
两边同除以SnS(n-1)可得：1/Sn-1/ S(n-1)=2.
所以{1/Sn}是公差为2的等差数列。
1/Sn=1/S1+2（n-1）=2+2（n-1）
1/Sn=2n, Sn=1/(2n).
所以n=1时，a1=1/2;
n≥2时，an=Sn-S(n-1)= 1/(2n)- 1/(2(n-1))=-1/[2n(n-1)].