Question

高数..中值定理

已经函数在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，f(0)=1。求证:在(0,1)内至少存在一点c，使得f'(c)=-f(c)/c

Answer 1

在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地，在以后的学习中还会有其他的应用，再做更为全面的总结。

Answer 2

g(x)=xf(x)，g'(x)=xf'(x)+f(x)
g(0)=g(1)
对g(x)应用中值定理，有存在c∈(0,1),使得g'(c)=0
即 cf'(c)+f(c)=0,f'(c)= -f(c)/c.
故存在c∈(0,1),f'(c)= -f(c)/c