Question

导数为常数的函数为线性函数怎么证明

导数为常数的函数为线性函数怎么证明

Answer 1

设函数f的导数f'恒等于常数c,考虑函数：g(x)=f(x)-cx ，则有g'恒等于0。运用微分学中值定理（lagrange中值定理），对任何定义域中x,y,如果x<y,那么存在z满足x<z<y,并且g(x)-g(y)=g'(z)(x-y)=0,即g在定义域上恒为一个常数d,所以f(x)=cx+d,为线性函数。
注：直接对f使用lagrange中值定理也可以证明。

Answer 2

设函数f的导数f'恒等于常数c,考虑函数：g(x)=f(x)-cx，则有g'恒等于0。运用微分学中值定理（lagrange中值定理），对任何定义域中x,y,如果x<y,那么存在z满足x<z<y,并且g(x)-g(y)=g'(z)(x-y)=0,即g在定义域上恒为一个常数d,所以f(x)=cx+d,为线性函数。
注：直接对f使用lagrange中值定理也可以证明。

Answer 3

y=kx+b;y'=k