Question

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点

如图，直角坐标系中，点A的坐标为（a，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为x正半轴上一动点(OC＞a＞0)，连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交y轴于点E.
（1）求证：OC=AD
（2）随着点C位置的变化，点E的位置是否会发生变化？若没有变化，求出点E的坐标；若有变化，请说明理由。
（3）当C点运动到使OA：AC=1：3时，求出此时D点的坐标

Answer 1

解：（1）△OBC≌△ABD，（1分）
理由：∵△AOB和△CBD是等边三角形，
∴OB=AB，∠OBA=∠OAB=60°，
BC=BD，∠CBD=60°，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，（3分）
即∠OBC=∠ABD，
在△OBC和△ABD中，
{OB=AB∠OBC=∠ABDBC=BD，
∴△OBC≌△ABD（SAS）．（5分）
所以OC=AD

（2）∵△OBC≌△ABD，
∵∠BAD=∠BOC=60°，
又∵∠OAB=60°，
∴∠OAE=180°-∠OAB-∠BAD=60°，（8分）
∴Rt△OEA中，AE=2OA=2，
∴OE= 22-12= 3，
∴点E的位置不会发生变化，E的坐标为E（0， 3）．（10分）