Question

已知二次函数f(x)=ax²-2ax+2,若x∈[0,2]且x取唯一值时函数f(x)有最小值1，求

已知二次函数f(x)=ax²-2ax+2,若x∈[0,2]且x取唯一值时函数f(x)有最小值1，求求实数a的值;不论x取何值，不等式f(x)≥1恒成立，求数列a的取值范围.

Answer 1

（1）二次函数f(x)=ax²-2ax+2的对称轴为
x=-(-2a)/(2a)，即x=1
若a<0，f(x)开口向下，当x∈[0,2]时，f(x)取最小值时，x=0，x=2
若a>0，f(x)开口向上，当x∈[0,2]时，f(x)最小值为顶点纵坐标，即
x=1时，[4a×2-(-2a)^2]/4a=1
解得a=1
（2）不论x取何值，不等式f(x)≥1恒成立
即ax²-2ax+2≥1
整理得ax²-2ax+1≥0
当a=0时，1≥0恒成立
当a>0时，函数g(x)=ax²-2ax+1与x轴只有一个交点或没有交点时ax²-2ax+1≥0恒成立
即(-2a)^2-4a≥0，解得a≤0或a≥1
∵a>0，∴a≤0舍去
即a≥1
当a<0时，函数g(x)=ax²-2ax+1开口向下，ax²-2ax+1≥0不能恒成立
综上所述，a=0或a≥1，不论x取何值，不等式f(x)≥1恒成立．