Question

数学数列题

数列{an} , {bn}. {bn}为等差数列，且满足bn=(a1 + 2a2 + 3a3+ -----+nan)/(1+2+3+---+n)
证明{an}也为等差数列 啊啊啊 太费脑子了！会的写详细点 没时间给个思路也行！（加悬赏！）

Answer 1

bn=(a1 + 2a2 + 3a3+ …+nan)/(1+2+3+-…+n)
其中1+2+3+-…+n=n（n+1）/2
所以
bn=2(a1 + 2a2 + 3a3+ …+nan)/n（n+1）
b(n+1)=2(a1 + 2a2 + 3a3+ …+nan+(n+1)an+1)/(n+2)（n+1）
把第一个式子的n和第二个式子的n+2移到等式左边，就有
n*bn=2(a1 + 2a2 + 3a3+ …+nan)/（n+1)
(n+2)*b(n+1)=2(a1 + 2a2 + 3a3+ …+nan+(n+1)an+1)/（n+1）
两式相减得到
(n+2)*b(n+1)-n*bn=2a（n+1）
由于bn是等差数列，不妨设b(n+1)-bn=c，c是常数
那么(n+2)*b(n+1)-n*bn=n*c+2b(n+1)
所以a（n+1）=n*c/2+b(n+1)
那么an=（n-1)*c/2+bn
再把两式相减
a(n+1）-an=c/2+b(n+1)-bn
b(n+1)-bn=c
所以a(n+1）-an=3c/2
故an是等差数列