Question

已知a,b,c为实数，且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2。

已知a,b,c为实数，且a+b+c=0,abc=1,求证：a,b,c三数中必有一个大于3/2。
证明：由a+b+c=0及abc=1可知，a,b,c中只有一个正数、两个负数，不妨设a是正数，由题意得b+c=-a,�又：bc=1/a; �于是根据韦达定理知，b,c是方程x^2+ax+1/a=0的两个根，又b,c是实数， 因此上述方程的判别式 △=a^2-4/a≥0因为a>0,所以a^3-4≥0,a^3≥4 a≥(4)^(1/3)>(3.375)^(1/3)=1.5; 这也就证明了a,b,c中必有一个大于等于1.5

Answer 1

如果 a,b,c 都 ≤ 3/2

由于 a+b+c=0 所以 三者必有一个 < 0

由于 abc=1 所以 三者中有两个 <0

不妨设 a,b < 0 0<c<3/2

由题意 ab = 1/c > 2/3

所以 (-a) + (-b) > 2√(-a)(-b) > 2* √6/3

即 a+b < -2* √6/3
9 - √96
所以 a + b + c < -2* √6/3 + 3/2 = -------------- <0
6
与 a+b+c =0矛盾

所以假设不成立

故a,b,c三数中必有一个大于3/2

证毕！

GOOD LUCK~

【中学数理化解答团】

Answer 2

a+b+c=0
abc=l

显然a,b,c都不为0
而a+b+c=0，所以a,b,c中肯定有正有负
而abc=1>0，所以a,b,c中有一正两负，设b,c是负数
那么，我们令b=-m, c=-n
这样就有：
a=m+n
amn=1
且a,m,n>0
1=amn=(m+n)mn=<=(m+n)*(m+n)^2/4
即(m+n)^3>4
即a^3>4
而4*8>27
即4>(3/2)^3
所以a^3>4>(3/2)^3
所以a>3/2
原结论成立。