Question

偶函数f(x)满足f(x-1)=f(x+1),且当x∈[0,1]时,f(x)=-x+1,

则关于x的方程f(x)=lg(x+1)在x∈[0,9]上解的个数是?

Answer 1

f(x-1)=f(x+1)

令x-1=t，则x=t+1

那么，f(t)=f(t+2)

所以，f(x)是以2为周期的函数

当x∈[0,1]时，f(x)=-x+1

做出草图【如下】

则在x∈[0,9]上一共有9个解！

Answer 2

答：
偶函数f(x)满足：f(-x)=f(x)
因为：f(x-1)=f(x+1)=f(x-1+2)
所以：f(x)=f(x+2)，f(x)的周期为2
0<=x<=1时，f(x)=-x+1
-1<=x<=0时，0<=-x<=1代入上式得：
f(-x)=x+1=f(x)
所以：-1<=x<=0时，f(x)=x+1

所以：0<=f(x)<=1恒成立
设g(x)=lg(x+1)<=1，0<x+1<=10
所以：-1<x<=9
（-1，9]区间分成（-1，1]，[1，3]，[3，5]，[5，7]，[7，9]
每个区间中点处f(x)=1，端点处f(x)=0
对应区间f(x)=g(x)=lg(x+1)的交点个数分别为：
1、2、2、2、2
共有1+2*4=9个交点
所以：f(x)=lg(x+1)，0<=x<=9上的解有9个

Answer 3

解的个数是
9个