Question

如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，OD垂直BC于点D，过点C作圆O的切线，交OD的延长线

如图，已知AB是圆O的直径，C是圆O上一点，OD垂直BC于点D，过点C作圆O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE. 求证，BE于圆O相切； 连接AD并延长交BE于点F，若OB=6，且sin角ABC=三分之二，求BF的长

Answer 1

证明：（1）连接OC，

∵OD⊥BC，
∴OC=OB，CD=BD（垂径定理），
∴∠OCD=∠OBD，
∵∠OCD+∠COE=∠OBD+∠BOE=90°，
∴∠COE=∠BOE，
在△OCE和△OBE中，
∵OC=OB∠COE=∠BOEOE=OE，
∴△OCE≌△OBE，
∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE，
故可证得BE与⊙O相切．

（2）过点D作DH⊥AB，连接AD并延长交BE于∵∠DOH=∠BOD，∠DHO=∠BDO=90°，
∴△ODH∽△OBD，
∴ODOB=OHOD=DHBD
又∵sin∠ABC=23，OB=9，
∴OD=6，
∴OH=4，
∴DH=OD2-OH2=25，
又∵△ADH∽△AFB，
∴AHAB=DHFB，1318=2√5FB，
∴FB=36√513．

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