Question

在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1。1

在三角形ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos2A-3cos（B+C）=1。1：求角A的大小；2：若三角形ABC的面积S=5倍根号3，b=5，求sinBsinC的值

Answer 1

答：
三角形ABC中：cos2A-3cos(B+C)=1
1）
因为：A+B+C=180°
所以：cos(B+C)=-cosA
代入cos2A-3cos(B+C)=1得：
2(cosA)^2-1+3cosA=1
2(cosA)^2+3cosA-2=0
(2cosA-1)(cosA+2)=0
因为：cosA+2>0
所以：2cosA-1=0
所以：cosA=1/2
解得：A=60°
2）
S=bcsinA/2=5√3
bcsin60°=10√3
bc=20
b=5，c=4
根据余弦定理有：
a^2=b^2+c^2-2bccosA
=25+16-40*(1/2)
=21
a=√21
根据正弦定理有：
a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R
所以：
√21/(√3/2)=5/sinB=4/sinC
解得：sinB=5√7/14，sinC=2√7/7

Answer 2

1, cos(B+C)=-cosA
cos2A-3cos(B+C)=2cos^2A+3cosA-1=1
2cos^2A+3cosA-2=0
(2cosA-1)(cosA+2)=0
cosA=1/2 或 cosA=-2 (舍去）
A=60
2, S=1/2*bcsinA
c=2S/csinA=2*5√3/(5√3/2)=4
a^2=b^2+c^2-2bccosA
=25+16-20
=21
a=√21
a/sinA=b/sinB
sinB=bsinA/a=5√7/14
sinC=csinA/a=2√7/7