Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACD=90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB,FG∥BC，EG∥AC,.

如图，求用向量法解答。

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB=90°，
∴∠EGF=90°，△ABC～△EFG，
由于AB=2EF，
∴BC=2FG，
连接AF，
∵FG∥BC，FG=1/2BC，
在▱ABCD中，M是线段AD的中点，
∴AM∥BC，且AM=1/2BC，
∴FG∥AM且FG=AM，
∴四边形AFGM为平行四边形，
∴GM∥FA，
∵FA⊂平面ABFE，GM⊄平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．
（Ⅱ）由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD，
取AB的中点H，连接CH，
∵AC=BC，
∴CH⊥AB
则CH⊥平面ABFE，
过H向BF引垂线交BF于R，连接CR，
由线面垂直的性质可得CR⊥BF，
∴∠HRC为二面角的平面角，
由题意，不妨设AC=BC=2AE=2，
在直角梯形ABFE中，连接FH，
则FH⊥AB，
又AB=2倍根号2 ，
∴HF=AE=1，HR=
S△BHE /( BE /2) =根号2/根号3=根号6/3，
由于CH=1/2AB=根号2 ，
∴在直角三角形CHR中，tan∠HRC=根号2/ 根号6/3 =根号3
因此二面角A-BF-C的大小为60°

Answer 2